Operações em conjunto

Operações com conjuntos:

Ç Símbolo de interseção

È Símbolo de união

A Ç B é igual a todos os elementos comuns entre A e B

A È B é igual a todos os elementos de A e B

A – B é tudo que tem em A e não esta em B

-Sendo que A={1,2,5,7,8,10}   e B={0,1,2,3,4,9}

A Ç B ={1,2}

A È B={0,1,2,3,4,5,7,8,9,10}

A – B={5,7,8,10}

-Hachura, em cada caso, o conjunto intersecção MÇN

-Hachura, em cada caso, o conjunto  M – N

Operações de conjuntos:

n(AÈB)=n(A)+n(B) – n(AÇB)

n(AÇB)=n(A)+n(B) – n(AÈB)

n(A-B)=n(A) – n(AÇB)

Exercícios

Admita os conjuntos:

P: números primos menores que 10;

M: números naturais múltiplos de 2 e menores que 10; e

Q: números naturais múltiplos de 4 e menores que 10.

Classifique cada frase a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F).

a)     n(P) = 4

b)     n(P È M)=8

c)     n(PÇM)=1

d)    n(Q-M)=2

e)     n(PÈQ)=7

f)      n(M-P)=4

RESOLUCAO:

P={2,3,5,7}

M={0,2,4,6,8}

Q={0,4,8}

PÈM={0,2,3,4,5,6,7,8}

PÇM={2}

QÇM={0,4,8}

QÈM={0,2,4,6,8}

PÈQ={0,2,3,4,5,7,8}

PÇQ={}

a)verdadeira

b)verdadeira

c)Verdadeira

d)Falsa

n(Q-M)=n(Q)-n(QÇM)

              =3-3=0

e)verdadeira

f)Verdadeira

n(M-P)=n(M)-n(MÇP)

                 =5-1

               =4

1. ·        De acordo com o seguinte diagrama:

Determine

a)A-D

b)B-C

c)AÇD

d) BÇC

e)(AÇD)-(BÇC)

f)B-D

Primeiro passo determinar os elementos do conjunto A ,B,C e D

A={1,2,3,4,5}

B={3,5}

C={0}

D={0,4,5,7}

a)A-D={1,2,3}

b)B-C={3,5}

c)AÇD={4,5}

d)BÇC={}

e) (AÇD)-(BÇC)=

    ={4,5} - {}

={4,5}

f)B-D={3}

      

Conjuntos numéricos

-Conjuntos numéricos

Conjuntos dos números naturais e inteiros:

Os números naturais são todos os números inteiros e positivos representados por ℕ

ℕ={0,1,2,3,4,5,...}

ℕ^∗={1,2,3,4,5,...} são todos os números naturais menos o zero

Acrescentando os números negativos e inteiros aos números naturais obtemos o conjunto ℤ

ℤ={...,-2,-1,0,1,2,...}  são todos os números inteiros positivos e negativos

ℤ^∗={...,-2,-1,1,2,...}  são todos os números inteiros positivos e negativos menos o zero

ℤ₊={0,1,2,3,4,5,6,...}   são todos os números inteiros e positivos

ℤ_{_}={...,-3,-2,-1,0} são todos os números inteiros e negativos

Conjunto dos números racionais:

Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de razão a/b  onde a é um numero inteiro e b é um numero inteiro diferente de zero

ℚ={x | x=a/b onde aÎℤ  e bÎ ℤ^∗}

Exemplo:

3/5           -20/3                 5/7             -2/9

o conjunto dos números racionais não-nulos: ℚ^∗

 o conjunto dos números racionais não-negativos: ℚ_{_}

o conjunto dos números racionais não-positivos: ℚ₊

Obs:casas decimais periódicas são aquelas com repetição por exemplo 0,3333...(o numero 3 esta sendo repetido n vezes)

1,252525....(o numero 25 esta sendo repetido n vezes)

Casas decimais não periódicas são aquelas que não têm repetição, por exemplo,     1,414213562

Conjunto dos números irracionais (números com infinitas casas decimais não periódicas)

é um número cuja representação decimal tem infinitas casas não-periódicas depois da vírgula.

Exemplo:

p=3,14159265....

1,414213562

-1,4562341

-4,097356...

Conjunto dos números reais:

A reunião do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado por ℝ.

Os números reais são todos os números seja positivo, negativo, inteiro, racionais e irracionais.

Exemplo:

3/5           

3,14159265....

-1,4562341

-4,097356...

0,3333...

1

3

-1

-1,5

o conjunto dos números racionais não-nulos: ℝ^∗

o conjunto dos números racionais não-negativos: ℝ_{_}

o conjunto dos números racionais não-positivos: ℝ₊

Operações com conjuntos

-Conjunto finito: é aquele que você conhece todos seus elementos, por exemplo, conjunto dos dias da semana

-Conjunto infinito: é aquele que você não conhece todos seus elementos, por exemplo, conjunto dos números pares.

-Diagrama de ven:

Temos o conjunto A e seus elementos são 0,2,4,6,8,20

Podemos dizer que 0Î A (zero pertence ao conjunto A)

-2 Ï A (-2 não pertence ao conjunto A)

-Igualdade de conjuntos:

Dois conjuntos são iguais quando eles tem todos os elementos iguais por exemplo :

A={2,4,6}               B={2,4,6}            C={2,4,6,8}

O conjunto A é igual ao conjunto B

A=B

Porem o conjunto A e B é diferente do conjunto C, pois  no conjunto C temos o elemento 8 .(8ÏA   e   8ÏB)

A≠C        e         B≠C

-Definição do conjunto vazio, unitário e universo:

Conjunto vazio é o conjunto que não tem elementos.

Representado das seguintes formas    A={}  ou A=Æ

Conjunto unitário é o conjunto que tem apenas um elemento.

Por exemplo, B={3}

Conjunto universo é o conjunto utilizado para estudar  uma situação

-Subconjunto de um conjunto:

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencerem a B.

A Ì B  (A está contido em B)

B É A (B contém A)

-Complementar de um conjunto:

A^U é o complementar do conjunto A em relação ao conjunto U exemplo:

A= {0, 5, 10, 15}   U= {x| x é um número natural menor ou igual a 15}.

A^U=U-A    onde U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

A^U=U-A ={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14}

Considere N={0,1,2,3,4,...}   e   P={0,2,4,6,8,...} calcule C^P_N

C^P_N  = N - P    (Complementar de P em relação a N)

C^P_N   ={1,3,5,7,...}

Exercícios:

(Fuvest) Sendo A ={2, 3, 5, 6, 9, 13} e B ={a^b | aÎA, bÎA e a≠b} , o número  de elementos de B que são números pares é:

Observação:As potencias de base par resulta em um numero par

Sendo que a^b precisa ser um numero par e a≠b

E os números pares no conjunto A são 2 e 6

Temos B={ 2³,2⁵,2⁶,2⁹,2¹³,6²,6³,6⁵,6⁹,6¹³}

O numero de elementos de B são  10.

-Determine os conjunto X e Ysabendo que Z={t}, C^Y_X={c}, C^Z_X={c,a} e C^Z_Y={a}.

Se C^Z_Y={a}  ( Z – Y={a}  portanto  Y={a,t} )

 C^Y_X={c} ( Y – X={c}  portanto X={a,c,t} )

Logaritmos

Logaritmos

log_a b=x  è a^x=b  (a elevado quanto vai ser igual a b)

Sabendo que a e b são números reais e positivos e a≠1.

O numero b é chamado de logaritmando .

Por exemplo:

log₆ 36= x

Temos duas formas de se resolver:

A primeira log₆ 36 =x  você pensa 6 elevado a quanto vai me dar 36 , a resposta é 2 pois 6²=36 portanto temos que x=2.

A segunda log₆ 36 =x, portanto 6^x=36 (temos que igualar as bases)

                                                        6^x = 6²

                                                         x=2

log₁₀ 1= x

10 elevado a o  que vai dar 1 , sabemos que a⁰=1 portanto a resposta é 0 logo log₁₀1=0

Ou ainda podemos resolver a seguinte forma:

log₁₀ 1 =x

10^x=1 (temos que igualar as bases)

10^x=10⁰

x=0

Condição de existência:

log_a b =x    è  a^x=b , para b>0  e a>0 e a≠1

Conseqüências de logaritmos:

1ª  log_a 1=0 pois, a⁰=1

2ª log_a a=1 pois, a¹=a

3ª log_a aⁿ= n pois, aⁿ= aⁿ 

4ª  a^log_aⁿ=n pois, log_an=m   è a^m=n   è a^log_aⁿ=n

5ª  log_am=log_an   è m=n

Logaritmo de um produto:

log_a (b.c)=log_a b+log_a c   (sendo que b e c são positivos e a>0 e a≠1)

Logaritmo de um quociente:

log_a b∕c=log_ab – log_ac (sendo que b e c são positivos e a>0 e a≠1)

Logaritmo do inverso:

Log_a  1∕y = -log_a y = colog_a y ( sendo que y é positivo e a>0 e a≠1)

Logaritmo de uma potencia:

log_a bⁿ =n.log_a b  (sendo que b é positivo e a>0 e a≠1)

Mudança de base:

Log_a b= log_c b ∕ log_c a

 Determine os valores de x para que exista:

a)     log_x 12=

Lembrando que a base que nesse caso é o x sempre tem que ser maior que zero e diferente de 1 e o logaritmando que nesse caso é o 12 tem que ser maior que zero.

{ xÎ R |  x>0 e x≠1}

b)    log₃ (4x+ 8)=

4x+8>0

4x>-8

x> -8∕4

x> -2

{xÎR | x>-2}

c)     log₃  (x+2)∕(x-1)

(x+2)∕(x-1) >0

x + 2 é uma equação do primeiro grau com a>0,portanto temos uma reta crescente .

     x+2=0   è x=-2

    x -1 é uma equação do primeiro grau com a>0, portanto temos uma   reta crescente.

x-1=0  è x=1

Como o x-1 é denominador de uma fração, portanto x-1 ≠0 è x≠1

                                             1                       2

(x+2)	_	_	+
(x-1)	_	+	+
(x+2)∕(x-1)	+	_	+

                                                                               

S={xÎR |   x<1  ou x>2 }

Ø Assumindo que log 2 =0,3   e log 3 = 0,48 determine:

a)     log 5=

log 5 = log (30∕6)

=log 30 – log6

=log(3.10) – log(3.2)

= log3 + log 10 – (log 3 + log 2)

= 0,48+1 –(0,48 + 0,3)

=1,48 –(0,78)

= 0,7

b)    log₃ 2=

=log₃ 2 =(log 2)∕ (log 3)  

=log 2 – log 3

=0,48 + 0,3

=0,78

c)     log 30=

=log 30= log (3.10)

=log 3 + log 10

=0,48+1

=1,48

Ø  (Uece) Se x₁  e x₂ são as raízes da equação x² + 6x + 4=0, então log₄(5x₁x₂ – 2x₁ – 2x₂) é igual a :

x² + 6x + 4 =0

a=1      b=6       c =4

Produto das raízes P=c∕a

Soma das raízes    S= -b∕a

x₁.x₂=4

x₁+x₂= -6

log₄(5 x₁.x₂  - 2x₁ – 2x₂)=

log₄ ( 5. 4 – 2(x₁+ x₂))=

log₄( 20 – 2(-6))=

log₄(20 +12)=

log₄(32)=

log₄ (4² . 2)=

log₄ 4² + log₄ 2 =

2 +( log₂ 2 ∕ log₂ 4)=

2+ (1∕2)=

1,5

Resposta 1,5

Ø (UFMT) O domínio D de valores de xÎ R de modo que

log_(5x-20)(2x – 6) exista, em que  (5x – 20) é a  base, é :

Lembrando que log_a b  onde a>0 e a≠1 e b>0

Portanto temos 5x-20>0 

                           5x>20

                            x>4

5x - 20≠1

5x ≠ 1+20

5x ≠ 21

x≠ 21∕5

x≠ 4,2

(2x-6)>0

2x>6

x>3

D={xÎR | x>4 e x≠4,2}

(UFPR) Sejam a e b números reais e positivos tais que

, então : 

a)log_b a =2⁵

b)log_b a =25

c) log_b a =10

d)log_b a =24