Operações em conjunto

Operações com conjuntos:

Ç Símbolo de interseção

È Símbolo de união

A Ç B é igual a todos os elementos comuns entre A e B

A È B é igual a todos os elementos de A e B

A – B é tudo que tem em A e não esta em B

-Sendo que A={1,2,5,7,8,10}   e B={0,1,2,3,4,9}

A Ç B ={1,2}

A È B={0,1,2,3,4,5,7,8,9,10}

A – B={5,7,8,10}

-Hachura, em cada caso, o conjunto intersecção MÇN

-Hachura, em cada caso, o conjunto  M – N

Operações de conjuntos:

n(AÈB)=n(A)+n(B) – n(AÇB)

n(AÇB)=n(A)+n(B) – n(AÈB)

n(A-B)=n(A) – n(AÇB)

Exercícios

Admita os conjuntos:

P: números primos menores que 10;

M: números naturais múltiplos de 2 e menores que 10; e

Q: números naturais múltiplos de 4 e menores que 10.

Classifique cada frase a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F).

a)     n(P) = 4

b)     n(P È M)=8

c)     n(PÇM)=1

d)    n(Q-M)=2

e)     n(PÈQ)=7

f)      n(M-P)=4

RESOLUCAO:

P={2,3,5,7}

M={0,2,4,6,8}

Q={0,4,8}

PÈM={0,2,3,4,5,6,7,8}

PÇM={2}

QÇM={0,4,8}

QÈM={0,2,4,6,8}

PÈQ={0,2,3,4,5,7,8}

PÇQ={}

a)verdadeira

b)verdadeira

c)Verdadeira

d)Falsa

n(Q-M)=n(Q)-n(QÇM)

              =3-3=0

e)verdadeira

f)Verdadeira

n(M-P)=n(M)-n(MÇP)

                 =5-1

               =4

1. ·        De acordo com o seguinte diagrama:

Determine

a)A-D

b)B-C

c)AÇD

d) BÇC

e)(AÇD)-(BÇC)

f)B-D

Primeiro passo determinar os elementos do conjunto A ,B,C e D

A={1,2,3,4,5}

B={3,5}

C={0}

D={0,4,5,7}

a)A-D={1,2,3}

b)B-C={3,5}

c)AÇD={4,5}

d)BÇC={}

e) (AÇD)-(BÇC)=

    ={4,5} - {}

={4,5}

f)B-D={3}

      

Conjuntos numéricos

-Conjuntos numéricos

Conjuntos dos números naturais e inteiros:

Os números naturais são todos os números inteiros e positivos representados por ℕ

ℕ={0,1,2,3,4,5,...}

ℕ^∗={1,2,3,4,5,...} são todos os números naturais menos o zero

Acrescentando os números negativos e inteiros aos números naturais obtemos o conjunto ℤ

ℤ={...,-2,-1,0,1,2,...}  são todos os números inteiros positivos e negativos

ℤ^∗={...,-2,-1,1,2,...}  são todos os números inteiros positivos e negativos menos o zero

ℤ₊={0,1,2,3,4,5,6,...}   são todos os números inteiros e positivos

ℤ_{_}={...,-3,-2,-1,0} são todos os números inteiros e negativos

Conjunto dos números racionais:

Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de razão a/b  onde a é um numero inteiro e b é um numero inteiro diferente de zero

ℚ={x | x=a/b onde aÎℤ  e bÎ ℤ^∗}

Exemplo:

3/5           -20/3                 5/7             -2/9

o conjunto dos números racionais não-nulos: ℚ^∗

 o conjunto dos números racionais não-negativos: ℚ_{_}

o conjunto dos números racionais não-positivos: ℚ₊

Obs:casas decimais periódicas são aquelas com repetição por exemplo 0,3333...(o numero 3 esta sendo repetido n vezes)

1,252525....(o numero 25 esta sendo repetido n vezes)

Casas decimais não periódicas são aquelas que não têm repetição, por exemplo,     1,414213562

Conjunto dos números irracionais (números com infinitas casas decimais não periódicas)

é um número cuja representação decimal tem infinitas casas não-periódicas depois da vírgula.

Exemplo:

p=3,14159265....

1,414213562

-1,4562341

-4,097356...

Conjunto dos números reais:

A reunião do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado por ℝ.

Os números reais são todos os números seja positivo, negativo, inteiro, racionais e irracionais.

Exemplo:

3/5           

3,14159265....

-1,4562341

-4,097356...

0,3333...

1

3

-1

-1,5

o conjunto dos números racionais não-nulos: ℝ^∗

o conjunto dos números racionais não-negativos: ℝ_{_}

o conjunto dos números racionais não-positivos: ℝ₊

Operações com conjuntos

-Conjunto finito: é aquele que você conhece todos seus elementos, por exemplo, conjunto dos dias da semana

-Conjunto infinito: é aquele que você não conhece todos seus elementos, por exemplo, conjunto dos números pares.

-Diagrama de ven:

Temos o conjunto A e seus elementos são 0,2,4,6,8,20

Podemos dizer que 0Î A (zero pertence ao conjunto A)

-2 Ï A (-2 não pertence ao conjunto A)

-Igualdade de conjuntos:

Dois conjuntos são iguais quando eles tem todos os elementos iguais por exemplo :

A={2,4,6}               B={2,4,6}            C={2,4,6,8}

O conjunto A é igual ao conjunto B

A=B

Porem o conjunto A e B é diferente do conjunto C, pois  no conjunto C temos o elemento 8 .(8ÏA   e   8ÏB)

A≠C        e         B≠C

-Definição do conjunto vazio, unitário e universo:

Conjunto vazio é o conjunto que não tem elementos.

Representado das seguintes formas    A={}  ou A=Æ

Conjunto unitário é o conjunto que tem apenas um elemento.

Por exemplo, B={3}

Conjunto universo é o conjunto utilizado para estudar  uma situação

-Subconjunto de um conjunto:

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencerem a B.

A Ì B  (A está contido em B)

B É A (B contém A)

-Complementar de um conjunto:

A^U é o complementar do conjunto A em relação ao conjunto U exemplo:

A= {0, 5, 10, 15}   U= {x| x é um número natural menor ou igual a 15}.

A^U=U-A    onde U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

A^U=U-A ={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14}

Considere N={0,1,2,3,4,...}   e   P={0,2,4,6,8,...} calcule C^P_N

C^P_N  = N - P    (Complementar de P em relação a N)

C^P_N   ={1,3,5,7,...}

Exercícios:

(Fuvest) Sendo A ={2, 3, 5, 6, 9, 13} e B ={a^b | aÎA, bÎA e a≠b} , o número  de elementos de B que são números pares é:

Observação:As potencias de base par resulta em um numero par

Sendo que a^b precisa ser um numero par e a≠b

E os números pares no conjunto A são 2 e 6

Temos B={ 2³,2⁵,2⁶,2⁹,2¹³,6²,6³,6⁵,6⁹,6¹³}

O numero de elementos de B são  10.

-Determine os conjunto X e Ysabendo que Z={t}, C^Y_X={c}, C^Z_X={c,a} e C^Z_Y={a}.

Se C^Z_Y={a}  ( Z – Y={a}  portanto  Y={a,t} )

 C^Y_X={c} ( Y – X={c}  portanto X={a,c,t} )