Logaritmos

Logaritmos

log_a b=x  è a^x=b  (a elevado quanto vai ser igual a b)

Sabendo que a e b são números reais e positivos e a≠1.

O numero b é chamado de logaritmando .

Por exemplo:

log₆ 36= x

Temos duas formas de se resolver:

A primeira log₆ 36 =x  você pensa 6 elevado a quanto vai me dar 36 , a resposta é 2 pois 6²=36 portanto temos que x=2.

A segunda log₆ 36 =x, portanto 6^x=36 (temos que igualar as bases)

                                                        6^x = 6²

                                                         x=2

log₁₀ 1= x

10 elevado a o  que vai dar 1 , sabemos que a⁰=1 portanto a resposta é 0 logo log₁₀1=0

Ou ainda podemos resolver a seguinte forma:

log₁₀ 1 =x

10^x=1 (temos que igualar as bases)

10^x=10⁰

x=0

Condição de existência:

log_a b =x    è  a^x=b , para b>0  e a>0 e a≠1

Conseqüências de logaritmos:

1ª  log_a 1=0 pois, a⁰=1

2ª log_a a=1 pois, a¹=a

3ª log_a aⁿ= n pois, aⁿ= aⁿ 

4ª  a^log_aⁿ=n pois, log_an=m   è a^m=n   è a^log_aⁿ=n

5ª  log_am=log_an   è m=n

Logaritmo de um produto:

log_a (b.c)=log_a b+log_a c   (sendo que b e c são positivos e a>0 e a≠1)

Logaritmo de um quociente:

log_a b∕c=log_ab – log_ac (sendo que b e c são positivos e a>0 e a≠1)

Logaritmo do inverso:

Log_a  1∕y = -log_a y = colog_a y ( sendo que y é positivo e a>0 e a≠1)

Logaritmo de uma potencia:

log_a bⁿ =n.log_a b  (sendo que b é positivo e a>0 e a≠1)

Mudança de base:

Log_a b= log_c b ∕ log_c a

 Determine os valores de x para que exista:

a)     log_x 12=

Lembrando que a base que nesse caso é o x sempre tem que ser maior que zero e diferente de 1 e o logaritmando que nesse caso é o 12 tem que ser maior que zero.

{ xÎ R |  x>0 e x≠1}

b)    log₃ (4x+ 8)=

4x+8>0

4x>-8

x> -8∕4

x> -2

{xÎR | x>-2}

c)     log₃  (x+2)∕(x-1)

(x+2)∕(x-1) >0

x + 2 é uma equação do primeiro grau com a>0,portanto temos uma reta crescente .

     x+2=0   è x=-2

    x -1 é uma equação do primeiro grau com a>0, portanto temos uma   reta crescente.

x-1=0  è x=1

Como o x-1 é denominador de uma fração, portanto x-1 ≠0 è x≠1

                                             1                       2

(x+2)	_	_	+
(x-1)	_	+	+
(x+2)∕(x-1)	+	_	+

                                                                               

S={xÎR |   x<1  ou x>2 }

Ø Assumindo que log 2 =0,3   e log 3 = 0,48 determine:

a)     log 5=

log 5 = log (30∕6)

=log 30 – log6

=log(3.10) – log(3.2)

= log3 + log 10 – (log 3 + log 2)

= 0,48+1 –(0,48 + 0,3)

=1,48 –(0,78)

= 0,7

b)    log₃ 2=

=log₃ 2 =(log 2)∕ (log 3)  

=log 2 – log 3

=0,48 + 0,3

=0,78

c)     log 30=

=log 30= log (3.10)

=log 3 + log 10

=0,48+1

=1,48

Ø  (Uece) Se x₁  e x₂ são as raízes da equação x² + 6x + 4=0, então log₄(5x₁x₂ – 2x₁ – 2x₂) é igual a :

x² + 6x + 4 =0

a=1      b=6       c =4

Produto das raízes P=c∕a

Soma das raízes    S= -b∕a

x₁.x₂=4

x₁+x₂= -6

log₄(5 x₁.x₂  - 2x₁ – 2x₂)=

log₄ ( 5. 4 – 2(x₁+ x₂))=

log₄( 20 – 2(-6))=

log₄(20 +12)=

log₄(32)=

log₄ (4² . 2)=

log₄ 4² + log₄ 2 =

2 +( log₂ 2 ∕ log₂ 4)=

2+ (1∕2)=

1,5

Resposta 1,5

Ø (UFMT) O domínio D de valores de xÎ R de modo que

log_(5x-20)(2x – 6) exista, em que  (5x – 20) é a  base, é :

Lembrando que log_a b  onde a>0 e a≠1 e b>0

Portanto temos 5x-20>0 

                           5x>20

                            x>4

5x - 20≠1

5x ≠ 1+20

5x ≠ 21

x≠ 21∕5

x≠ 4,2

(2x-6)>0

2x>6

x>3

D={xÎR | x>4 e x≠4,2}

(UFPR) Sejam a e b números reais e positivos tais que

, então : 

a)log_b a =2⁵

b)log_b a =25

c) log_b a =10

d)log_b a =24

Equações e inequações exponenciais

Equações e inequações exponenciais

Equações que têm a incógnita no expoente são chamadas de equações exponenciais:

a^x1=a^x2   ==>  x₁=x₂

Inequações exponenciais:

Inequações que têm a incógnita no expoente são chamadas de inequações exponenciais.

Ø Se a base da potência é maior que 1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém ao compararmos os expoentes :

  a>1

  a^x1>a^x2   ==>   x₁>x₂

  Exemplo:

  2^x>2⁵   ==>   x>5 (base maior que 1 portanto a relação de                          desigualdade se mantém).

Ø Se a base da potência está entre 0 e 1, a relação de desigualdade entre as potências se inverte ao compararmos os expoentes:

0<a<1

a^x1>a^x2  ==>  x₁<x₂

Exemplo:

(1∕2)^x>(1∕2)³   ==>  x<3 (base entre 0 e 1 portanto relação da desigualdade se inverte)

Exemplo:

Determine o conjunto solução das seguintes equações exponenciais:

a)  3^2x=27

Primeiro passo: igualar as bases 

3^2x=27    onde 27=3x3x3=3³

3^2x=3³

2x=3   ==>  x=3∕2

S={3∕2}

b)1∕32=2^X

32=2⁵

1∕2⁵=2^X    (aplicando 1∕aⁿ  = a^-n )

2^-5=2^X

-5=x

x= -5

S={5}

c)9^x=3^x-12

(3²)^x=3^x-12

3^2x=3^x-12

2x=x-12

2x-x=-12

x=-12

S={-12}

d)32^x=

(2⁵)^x=2^1∕2

2^5x=2^1∕2

5x=1∕2

10x=1

x=1∕10

S={1∕10}

e)(0,5)^2x=8^1-4x

(1∕2)^2x=(2³)^1-2x

(2^-1)^2x=2^3-6x

2^-2x=2^3-6x

-2x=3-6x

-2x+6x=3

4x=3

x=3∕4

S={3∕4}

f) 3.3^2x-4.3^x=-1

3.(3^x)²-4.3^x=-1

Se 3^x=T , obtém-se:

3T²-4T +1=0  (equação do segundo grau)

∆=b²-4ac  

∆=4     

T₁=1    T₂=1∕3

Para T₁=1  temos 3^x=1   ==>  3^x=3⁰ portanto x=0

Para T₂=1∕3 temos 3^x=1∕3  ==> 3^x=3^-1 portanto x=-1

S={0,-1}

Ø Resolve o sistema de equações.

 Na primeira equação temos que

3^x+y=3^-2

x+y=-2

Na segunda equação temos que

8^2x∕8^y=1

8^2x∕8^y=8⁰

8^2x-y=8⁰

2x-y=0

Portanto temos o seguinte sistema de equações:

x+y=-2  

2x-y=0   

Somando as duas equações temos

3x+y-y=-2

3x=-2

x=-2∕3

x+y=-2

-2∕3+y=-2

Y=-2+2∕3

Y=-4∕3

S={(-2∕3,- 4∕3)}

Ø (Unesp) Dada a inequação(3^x∕2)^x-1  ≥ (3∕9)^x-3  ,o conjunto verdade V, considerando o conjunto universo como sendo dos reais, é dado por:

a) V= {x Î R | x ≤ -3 ou x ≥2}.

b) V= {x Î R | x ≤ -3 e x ≥2}.

c) V={x Î R | 23 ≤ x ≤ 2}.

d) V= {x Î R | x ≤ 23}.

e) V={x Î R | x ≥ 2}.

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3∕9)^x-3

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3∕3²)^x-3

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3^1-2)^x-3

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3^-1)^x-3

(x² ∕ 2 - x∕2) ≥ -x+3

Multiplicar tudo por 2 para eliminar a fração

x² – x ≥ -2x+6

x² – x + 2x -6 ≥ 0

x² + x – 6 ≥0

1º passo é uma inequacao do segundo grau com a>0,potanto          

e´ uma parábola com concavidade voltada para cima.

2º passo calcular os zeros da função:

x² + x – 6  = 0

∆=25

x₁=2      e  x₂= -3 

Como a inequação x² + x – 6 ≥0

Esta pedindo os valor de x que são maiores ou iguais a zero , vermelho esta marcado na parábola a solução .

{x Î R | x ≤ -3 ou x ≥2}.

Resposta letra  a

Ø (Unesp) Em relação a desigualdade 

a) encontre os valores de x, no conjunto dos reais,

que satisfaçam essa desigualdade.

b) encontre a solução da desigualdade para valores

de x no conjunto dos inteiros.

x² – 5x +7 < 1

x² – 5x + 7 – 1 < 0

x² – 5x +6 < 0

1º passo é uma inequacao so segundo grau com a>0, portanto temos uma parábola com concavidade voltada para cima.

2º passo calcular os zeros da função:

x² – 5x +6 = 0

∆=1

x₁=3     e   x₂=2

S={ xÎ R |    2< x< 3}

a)     Não exixstem números inteiros entre 2 e 3 portanto

S=Æ