Funções exponenciais e logarítmicas

Funções exponenciais e logarítmicas

·        Qualquer numero  diferente de zero elevado a zero é igual a um a⁰=1 (onde a≠0)  

     1ª propriedade: Produto de potências de mesma base   a^m.aⁿ=a^m+n

     Exemplo 2⁵.2^-2=2^5+(-2) = 2³

     2ª propriedade: quociente de potenciais de mesma base  a^m∕aⁿ=a^m-n

    Exemplo  4³∕4²=4^3-2=4                         5⁶∕5^-2=5^6-(-2)=5⁸

    3ª  propriedade: Potência de um produto  (a.b)^m=a^m.b^m

   Exemplo ( 2.3)⁴=2⁴.3⁴

   4ª  propriedade: Potência de um quociente  (a∕b)^m=a^m∕b^m   (onde b≠0)

   Exemplo   (4∕5)³=4³∕5³

   5ª propriedade: Potência de uma potência       (a^m)ⁿ=a^m.n

   Exemplo   (3²)³=3⁶

·        Potência de expoente inteiro negativo:

a^-n=1∕aⁿ                      onde a^-n é o inverso de aⁿ

Potência de expoente racional:

• Função exponencial:

Uma função f: R em R^*  é chamada de função exponencial se existe um número real a, com a > 0 e a ≠1, tal que f(x) = a^x para todo x Î R.

Se a>1, f é crescente.

Se 0<a<1, f é decrescente. 

Exercícios

(Fuvest-SP) Seja f(x) =2^2x+1 . Se a e b são tais que

f(a) =4.f(b) , pode-se afirmar que:

( ) a) a +b = 2. ( ) d) a - b = 2.

( ) b) a + b = 1. ( ) e) a - b =1.

( ) c) a - b =3.

f(a)=2^2a+1     e      f(b)=2^2b+1

Temos f(a)=4f(b)

             2^2a+1=4. 2^2b+1

             2^2a+1=2². 2^2b+1

             2^2a+1=2^2+2b+1

             2^2a+1=2^2b+3          (igualdade entre potências de mesma base ,corta a base)

             2a+1=2b+3

             2a+1-2b-3=0

             2a-2b-2=0

            2a-2b=2      (simplificando por dois)

            a-b=1

resposta letra e

(Mackenzie-SP) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é: 

a) 18.000.            d) 14.000.

b) 20.000.            e) 40.000.

c) 32.000.     

f(t)=a.b^t

no gráfico temos que f(t)=10⁴ quando t=0 ou seja o numero de bactéria inicial(t=0) é de 10⁴

f(t)=a.b^t      10⁴=a.b⁰   

10⁴=a.1 , portanto a=10⁴

E quando o t=3hrs temos que f(t) ou o numero de bactérias é igual a 8.10⁴

8.10⁴=10⁴.b³     (dividindo por 10⁴ os dois lados)

8=b³ 

2³=b³

b=2

Decorridos 30 minutos do inicio das observações quanto vai ter de bactérias?

t=30min =0,5 horas

f(t)=10⁴.2^0,5= 10⁴.2^1∕2

f(t)=14000

resposta letra d

(UFAL) seja a função f, de R em R, definida por f(x)=4^x+1. Se f(2-x)=2.f(x), x é igual a :

f(2-x)=4^2-x+1

f(2-x)=4^3-x

2.f(x)=2.4^x+1

2.f(x)=2.(2²)^x+1

2.f(x)=2.2^2x+2

2.f(x)=2^2x+3

f(2-x)=2.f(x)

4^3-x=2^2x+3

(2²)^3-x=2^2x+3

2^6-2x=2^2x+3

6-2x=2x+3

6-2x-2x-3=0                              

 -4x+3=0

4x=3

x=3∕4    

Gráfico de função exponencial

Como construir gráficos de fincão exponencial:

Por exemplo, desenhar o gráfica da seguinte função  f(x)=2^x

Primeiro passo analisar a função: é uma função exponencial com a=2>1

Então é uma função crescente.

Segundo passo encontrar 5 coordenadas no gráfico:

x	y
-1	0,5
0	1
1	2
2	4
3	8

        

   Terceiro passo passar as coordenadas ao gráfico cartesiano:
     


(UFMT) A figura ao lado mostra um esboço do gráfico da função real y=a^x+b,com a≠1.calcule a³+b³

Resolução :

Olhando ao gráfica da funcao temos que quando x=0  ,y=2

y=a^x+b=a⁰+b              (a⁰=1 )

  2=1+b  portanto b=1

No gráfico temos também que quando x=1 , y=4

y=a^x+b=a¹+1

4=a+1, portanto a=3

a³+b³=(3)³+(1)³=28