Equações e inequações exponenciais

Equações e inequações exponenciais

Equações que têm a incógnita no expoente são chamadas de equações exponenciais:

a^x1=a^x2   ==>  x₁=x₂

Inequações exponenciais:

Inequações que têm a incógnita no expoente são chamadas de inequações exponenciais.

Ø Se a base da potência é maior que 1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém ao compararmos os expoentes :

  a>1

  a^x1>a^x2   ==>   x₁>x₂

  Exemplo:

  2^x>2⁵   ==>   x>5 (base maior que 1 portanto a relação de                          desigualdade se mantém).

Ø Se a base da potência está entre 0 e 1, a relação de desigualdade entre as potências se inverte ao compararmos os expoentes:

0<a<1

a^x1>a^x2  ==>  x₁<x₂

Exemplo:

(1∕2)^x>(1∕2)³   ==>  x<3 (base entre 0 e 1 portanto relação da desigualdade se inverte)

Exemplo:

Determine o conjunto solução das seguintes equações exponenciais:

a)  3^2x=27

Primeiro passo: igualar as bases 

3^2x=27    onde 27=3x3x3=3³

3^2x=3³

2x=3   ==>  x=3∕2

S={3∕2}

b)1∕32=2^X

32=2⁵

1∕2⁵=2^X    (aplicando 1∕aⁿ  = a^-n )

2^-5=2^X

-5=x

x= -5

S={5}

c)9^x=3^x-12

(3²)^x=3^x-12

3^2x=3^x-12

2x=x-12

2x-x=-12

x=-12

S={-12}

d)32^x=

(2⁵)^x=2^1∕2

2^5x=2^1∕2

5x=1∕2

10x=1

x=1∕10

S={1∕10}

e)(0,5)^2x=8^1-4x

(1∕2)^2x=(2³)^1-2x

(2^-1)^2x=2^3-6x

2^-2x=2^3-6x

-2x=3-6x

-2x+6x=3

4x=3

x=3∕4

S={3∕4}

f) 3.3^2x-4.3^x=-1

3.(3^x)²-4.3^x=-1

Se 3^x=T , obtém-se:

3T²-4T +1=0  (equação do segundo grau)

∆=b²-4ac  

∆=4     

T₁=1    T₂=1∕3

Para T₁=1  temos 3^x=1   ==>  3^x=3⁰ portanto x=0

Para T₂=1∕3 temos 3^x=1∕3  ==> 3^x=3^-1 portanto x=-1

S={0,-1}

Ø Resolve o sistema de equações.

 Na primeira equação temos que

3^x+y=3^-2

x+y=-2

Na segunda equação temos que

8^2x∕8^y=1

8^2x∕8^y=8⁰

8^2x-y=8⁰

2x-y=0

Portanto temos o seguinte sistema de equações:

x+y=-2  

2x-y=0   

Somando as duas equações temos

3x+y-y=-2

3x=-2

x=-2∕3

x+y=-2

-2∕3+y=-2

Y=-2+2∕3

Y=-4∕3

S={(-2∕3,- 4∕3)}

Ø (Unesp) Dada a inequação(3^x∕2)^x-1  ≥ (3∕9)^x-3  ,o conjunto verdade V, considerando o conjunto universo como sendo dos reais, é dado por:

a) V= {x Î R | x ≤ -3 ou x ≥2}.

b) V= {x Î R | x ≤ -3 e x ≥2}.

c) V={x Î R | 23 ≤ x ≤ 2}.

d) V= {x Î R | x ≤ 23}.

e) V={x Î R | x ≥ 2}.

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3∕9)^x-3

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3∕3²)^x-3

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3^1-2)^x-3

(3^x∕2)^x-1  ≥ (3^-1)^x-3

(x² ∕ 2 - x∕2) ≥ -x+3

Multiplicar tudo por 2 para eliminar a fração

x² – x ≥ -2x+6

x² – x + 2x -6 ≥ 0

x² + x – 6 ≥0

1º passo é uma inequacao do segundo grau com a>0,potanto          

e´ uma parábola com concavidade voltada para cima.

2º passo calcular os zeros da função:

x² + x – 6  = 0

∆=25

x₁=2      e  x₂= -3 

Como a inequação x² + x – 6 ≥0

Esta pedindo os valor de x que são maiores ou iguais a zero , vermelho esta marcado na parábola a solução .

{x Î R | x ≤ -3 ou x ≥2}.

Resposta letra  a

Ø (Unesp) Em relação a desigualdade 

a) encontre os valores de x, no conjunto dos reais,

que satisfaçam essa desigualdade.

b) encontre a solução da desigualdade para valores

de x no conjunto dos inteiros.

x² – 5x +7 < 1

x² – 5x + 7 – 1 < 0

x² – 5x +6 < 0

1º passo é uma inequacao so segundo grau com a>0, portanto temos uma parábola com concavidade voltada para cima.

2º passo calcular os zeros da função:

x² – 5x +6 = 0

∆=1

x₁=3     e   x₂=2

S={ xÎ R |    2< x< 3}

a)     Não exixstem números inteiros entre 2 e 3 portanto

S=Æ