Inequação

 Inequação

-Inequação do segundo grau, na incógnita x,é uma desigualdade entre dois membros,em que o primeiro é um polinômio do tipo ax²+bx+c (com a≠0) e o segundo membro é igual a zero.

Exemplo   x² – 4x + 3≥0 

             1º membro    2º membro

Se uma inequação estiver nesse formato   x² + 4x - 4≥ 7

É preciso deixa o segundo membro igual a zero então passa o 7 para o outro lado e troca de sinal                             x² + 4x – 4 -7 ≥0            x² + 4x - 11≥0

Exercícios :

Resolva à seguinte inequação  -x² + 6x - 5≥0,em R

Primeiro passo analisar a equação: é uma equação do segundo grau com a<0 então é uma parábola com concavidade voltada para baixo

Segundo passo calcular os zeros da função: -x²+6x-5=0

∆=b² – 4ac= 36-4(-1)(-5)=16

x₁=(-6+4)∕-2  = 1             e x₂= (-6-4)∕-2 = 5

Como a seguinte inequação  -x² + 6x - 5≥0 esta pedindo os valores maiores e iguais a zera temos

S={ x Î R ∕  1≤ x≤5 }

 

-Inequações de produto e de quociente(os dois são resolvidos da mesma forma)

Inequações de produto :

 f(x).g(x)>0                   f(x).g(x)≥0          f(x).g(x)<0       

f(x).g(x)≤0           f(x).g(x)≠0

Inequações de quociente:

f(x)∕g(x)>0                 f(x)∕g(x)≥0                 f(x)∕g(x)<0

f(x)∕g(x)≤0                 f(x)∕g(x)≠0

exemplo:

(UFJF-MG) Os valores de x que satisfazem a inequação

  pertencem a:

f(x)=x² -2x -3    e    g(x)=x-2

para f(x)= x² -2x -3   

1º passo : f(x)= x² -2x -3    é uma equação do segundo grau com a>0

Então temos uma parábola com concavidade voltada para cima

2º passo : calcular os zeros da função

 x² -2x -3 =0

∆=4-4(1)(-3)=16

x₁ =3   e x₂=-1 

Para g(x)=x-2

1º passo: g(x)=x-2 é uma equação do primeiro grau com a>0

Então temos uma reta cresente

2º passo : calcular o zero da função x-2=0 portanto x=2

3º passo : estudo de sinal organizar os zeros da função em ordem crescente e fazer o estudo de sinal.

                                                

                                               -1                   2                  3                      

f(x)	+	-	-	+
g(x)	-	-	+	+
f(x)∕g(x)	-	+	-	+

        

S={xÎR∕   -1≤x≤2  ou   x≥3}  a mesma resposta pode ser escrita de uma forma diferente S=[-1,2]U[3,+∞).

Exemplo:

Determine a solução da seguinte inequação

(-x²+10x-25).(x²-6x+5)>0

f(x)=-x²+10x-25

1º passo : é uma equação do segundo grau com a<0 portanto temos uma parábola com concavidade voltada para baixo.

2º passo: calcular os zeros da função -x²+10x-25=0

∆=100-4(-1)(-25)=0

x₁=x₂=-10∕-2=5

g(x)=x² -6x+5

1º passo: é uma equação do segundo grau com a>0 portanto temos uma parábola com concavidade voltada para baixo.

2º passo: calcular os zeros da função x² -6x+5=0

∆=36-4(1)(5)=16

x₁=10∕2=5              x₂=2∕2=1

3º passo: organizar os zeros da função em ordem crescente e fazer o estudo de sinal.

                                                         1                    5

f(x)	_	_	_
g(x)	+	_	+
f(x).g(x)	_	+	_

S={xÎR∕  1<x<5}

Inequações simultâneas envolvendo funções quadráticas:

Exemplo: resolve em R, O sistema de Inequações:

1º passo: f(x) =x²+2x-8 é uma equação do segundo grau com a>0

Portanto temos uma parábola com concavidade voltada para cima

2º passo: calcula os zeros da função x²+2x-8=0

∆=36           x₁=-4   x₂=2

S₁={xÎR∕   x<-4 ou x>2}

Para g(x)= -x² + 3x -2≤0

1º passo  g(x)= -x² + 3x -2 é uma equação do segundo grau com a<0  portanto temos uma parábola com concavidade voltada para baixo

2º passo: calcular os zeros da função -x² + 3x -2=0

∆=1     x₁=1            x₂=2

S₂={xÎR∕  x≤1 ou x≥2}

Por ser um sistema de duas Inequações  (Inequações simultâneas) é necessário fazer a interseção de S₁ e S₂